Евгений Пунский родился в 1927 г. в Ворошиловграде (сегодня Луганск) на Украине. Его родители были врачами; мать Софья Шапиро родилась в Яссах (Iasi) в Румынии, а отец Овсей (Евсей) происходил из семьи мастеровых, проживавшей неподалеку от Вильны в Литве, которая тогда входила в состав Польши. Он – подобно своим братьям Исааку и Якову – покинул родину, чтобы получить высшее образование.
После революции Овсей Пунский десятилетия не мог приехать к своей семье, которая находилась за советской границей. В 1940 г., когда страны Балтии были присоединены к Советскому Союзу, и Вильна (называвшаяся потом Вильнюс) оказалась на советской территории, он решил этим воспользоваться. Вместе с сыновьями Евгением и Виталием (р. 1925) он отправился в Литву. Однако после их приезда в Вильнюс началась Великая Отечественная война. Отец Евгения был обязан явиться в военкомат в Ворошиловграде, и через несколько дней он вместе с сыновьями выехал из Вильнюса. В последующее время почти все родственники Евгения в Вильнюсе были уничтожены немецкими оккупантами.
После возвращения в Ворошиловград Евгений вместе с братом и сестрой был эвакуирован в Коканд в Узбекистане, где они пережили военное время. Евгений был уже практически в призывном возрасте, но все-таки не был призван в действующую армию. Его отец Овсей после поспешного отъезда из Вильнюса был мобилизован как врач и офицер запаса в Красную армию; вскоре он попал в окружение немецкой армии и был убит в плену. Имя отца, как рассказывает Е. Пунский, не упоминается ни на одном памятнике.
Евгений Пунский окончил после войны школу и учился в медицинском институте в Москве. Его мать и дядя Яков, преподаватель московского ВУЗа, оказывали ему поддержку и пытались помочь, если Евгений во время учебы сталкивался с дискриминацией из-за еврейского происхождения. Однако и они не смогли предотвратить того, что Евгению отказали в продолжении карьеры в московском мединституте. Затем, в начале 1950-х годов, он устроился на работу в Ашхабаде в Туркмении.
Там Евгений Пунский работал на противочумной станции, которая подчинялась институту „Микроб“, где проводились исследования инфекционных заболеваний и разрабатывалась методика их лечения. Евгений Пунский участвовал в предотвращении распространения эпидемий в Азии, исследовал чуму, холеру, тиф и сибирскую язву и разрабатывал новые методы выявления возбудителей болезней. После защиты кандидатской диссертации он также занимался преподавательской деятельностью. Будучи известным ученым, пользовался уважением в других странах, и после переселения в Германию получил ученое звание профессора. Его жена Инесса Эйзенштадт, с которой он познакомился во время учебы, и их двое детей, Игорь и Римма, выбрали также профессию врача.
В 1990-х годах сын и дочь эмигрировали в Израиль и Германию. После этого супруги Пунские решили уехать из Ашхабада. Поскольку его жена скончалась еще до отъезда, Евгению Пунскому пришлось сделать этот шаг уже одному. С 2000 года он живет в Кельне вблизи своей дочери и одного из трех внуков.
Иудаизм играл важную роль в жизни предков Евгения Пунского – прадед был, судя по всему, религиозным учителем, а дед – верующим человеком. Однако в Советском Союзе эта семейная традиция была прервана. После переезда в Германию господин Пунский уделяет большое внимание истории еврейского народа и иудаизму, но называет себя „агностиком“: „Я уважаю верующих, но перестроиться у меня уже не получится“.